삼각함수

• 삼각비(trigonometric ratio)
  • 직각삼각형에는 세 변이 있다. (밑변/높이/빗변)
  • 그 세 변 중, 두 변의 길이 간의 비례 관계를 나타내는 걸 삼각비라고 한다.
  • 직각삼각형에는 두 개의 예각이 있다.
  • 기준으로 하는 예각에 따라서 밑변과 높이가 정해진다. 빗변은 고정이다.
• 삼각함수(trigonometric function)
  • 함수에서 입력값으로 사용될 수 있는 값의 집합을 정의역(domain)이라고 한다.
  • 삼각함수는 삼각비에서 쓰이는 정의역을 예각에서 일반각으로 확장시킨 함수다.
• degree와 radian
  • degree는 원 한 바퀴를 360도로 정의한 각도 계산 기법이다.
    • 일상적으로는 많이 사용하지만, 360이란 숫자를 임의로 정했을 뿐이라는 한계가 있다.
  • radian은 원 한 바퀴를 2pi로 정의한 각도 계산 기법이다.
    • 일상적으로 자주 쓰이지는 않지만, 삼각함수 등 수학적 엄밀성을 따질 때 더 자주 사용한다.
• 단위원(unit circle)
  • 삼각함수에선 반지름의 길이가 1인 원을 자주 사용한다. 이를 단위원이라 한다.
  • 빗변의 길이가 1이기 때문에 (x, y)를 (cos, sin)으로 표현할 수 있다.

기본 개념

• theta($\theta$, 세타)
  • 수학에서 주로 각도를 나타내는 미지수로 자주 사용한다.
  • sin(x)일 경우 각도를 x라고 지칭할 수도 있겠지만, theta가 명확히 각도인 것에 비해서 x의 경우 각도가 아니라 x값 좌표(밑변의 길이)로 오인할 여지가 있기는 하다.
• sin(sine, 사인)
  • 높이/빗변. 단위원인 경우 간단하게 높이라고 간주해도 된다.
  • theta가 0일 때 0이고, 90도(pi/2)의 1까지는 증가하는 양상을 보이다가, 180도(pi)의 0까지는 다시 감소하는 양상을 보인다.
  • 180도 이후로 270도(3pi/2)의 -1까지는 값이 감소하는 양상을 보이다가, 360도(2pi)의 0까지 다시 값이 증가하는 양상을 보인다.
  • 반복되는 주기는 2pi이며, 원점을 기점으로 하는 기함수다.
• cos(cosine, 코사인)
  • 밑변/빗변. 단위원인 경우 간단하게 밑변이라고 간주해도 된다.
  • theta가 0일 때 1이고, 90도(pi/2)의 0까지는 감소하는 양상을 보이다가, 180도(pi)의 -1까지는 계속 감소하는 양상을 보인다.
  • 180도 이후로 270도(3pi/2)의 0까지는 값이 증가하는 양상을 보이다가, 360도(2pi)의 1까지 다시 값이 증가하는 양상을 보인다.
  • 반복되는 주기는 2pi이며, y축을 기점으로 좌우가 대칭인 우함수다.
• tan(tangent, 탄젠트)
  • 높이/밑변. 단위원인 경우 원점에서 뻗어나가는 직선의 기울기라고 간주해도 된다.
  • theta가 0일 때 0이고, 90도(pi/2)에 다가갈수록 무한대로 치솟다가 90도에선 밑변이 0이 되어 정의되지 않는다.
  • 90도를 넘어서는 순간 마이너스 무한대 밑바닥에서 시작하여, 180도(pi)의 0까지 다시 증가하는 양상을 보인다.
  • 180도와 270도 사이에선 x와 y 모두 음수이므로 tan 값은 양수가 된다. 0도와 90도 구간 사이의 기울기와 동일하다.
  • 마찬가지로 270도와 360도 사이의 구간은 90도와 180도 사이의 기울기와 동일하다.
  • sin/cos가 2pi를 주기로 하는 것과는 다르게 tan의 주기는 pi다. 그리고 sin처럼 원점을 기점으로 하는 기함수다.

역수

• co-(complementary, 여각)
  • 직각삼각형에서 두 예각의 합은 90도(pi/2)이며, 이를 서로 ‘여각’ 관계라 한다.
  • 삼각함수에서 접두사 co-는 ‘여각(상대편 각도) 기준의 값’을 뜻한다.
    • cos(co-sine) = 상대편 각도의 sine
    • cot(co-tangent) = 상대편 각도의 tangent
    • csc(co-secant) = 상대편 각도의 secant
  • 따라서 이름에 co-가 붙었다고 역수 관계인 것은 아니다.
• csc(cosecant, 코시컨트)
  • 빗변/높이. sin의 역수(1/sin)다.
  • 원점(동경)에서 수직 접선까지 원을 뚫고 지나가는 선(secant, 할선)을 상대편 각도(co-)에서 바라본 길이다.
  • sin/sec로 매핑하기 쉬우나, 실제로는 앞 글자가 엇갈려 sin/csc가 역수 관계다.
• sec(secant, 시컨트)
  • 빗변/밑변. cos의 역수(1/cos)다.
  • 원을 자르고 지나가는 할선(secant line)의 길이를 뜻한다.
  • cos/csc로 매핑하기 쉬우나, 실제로는 앞 글자가 엇갈려 cos/sec가 역수 관계다.
• cot(cotangent, 코탄젠트)
  • 밑변/높이. tan의 역수(1/tan)다.
  • 상대편 각도(co-) 기준에서 바라본 접선(tangent)의 비율이다.
  • 유일하게 이름 직관 그대로 tan과 cot가 역수 관계를 이룬다.

Tip

• sin, cos 모두 ‘빗변’을 분모로 한다.
• tan는 ‘밑변’을 분모로 한다.
• sec는 ‘빗변/밑변’이고, csc는 ‘빗변/높이’다.
• sin/csc가 역수 관계고, cos/sec가 역수 관계다.